Меню


Подписаться



Множество действительных чисел неравномощно множеству натуральных чисел


То же покажите для суммы трех, четырех и, вообще, n множеств; покажите, наконец, что множество, составленное посредством сложения счетного множества счетных множеств, также счетно. Итак, допущение, что последовательность 1 содержит всё действительные точки единичного отрезка, приводит к заключению, что весь этот отрезок, длина которого равна 1, можно покрыть множеством отрезков с общей длиной ; с интуитивной точки зрения это - нелепость.

На первый взгляд кажется странным, что всюду плотное множество рациональных чисел не более богато элементами, чем множество натуральных чисел, элементы которого "рассеяны" редко и стоят на значительном расстоянии один от другого.

Множество действительных чисел неравномощно множеству натуральных чисел

Такое расположение предметов некоторого множества в виде последовательности часто называют пересчетом "нумерацией" этого множества. Покроем точку ах интервалом, длина которого пусть будет равна точку а 2 - интервалом длины и т. Так устанавливается, что множество всех рациональных чисел является счетным.

Множество действительных чисел неравномощно множеству натуральных чисел

Пересчет рациональных чисел Каждое рациональное число записывается в виде где а и b - целые числа; все эти числа могут быть расположены в виде такой таблицы, чтобы число стояло в а-й строчке и в b-м столбце. Взаимно однозначное соответствие между точками двух отрезков различной длины Стоит привести еще другое доказательство несчетности континуума, носящее, пожалуй, более интуитивный характер.

Читателю может прийти в голову мысль, что несчетность континуума обусловливается неограниченной протяженностью прямой линии и что конечный отрезок прямой будет содержать лишь счетное множество точек.

Стоит привести еще другое доказательство несчетности континуума, носящее, пожалуй, более интуитивный характер. Взаимно однозначное соответствие между точками согнутого интервала и точками прямой линии.

Предположим, что все свободные места, или "клеточки", в таблице заполнены соответствующими числами, а затем проведем по таблице непрерывную ломаную линию, которая пройдет через все клеточки. Взаимно однозначное соответствие между точками двух отрезков различной длины Стоит привести еще другое доказательство несчетности континуума, носящее, пожалуй, более интуитивный характер.

На первый взгляд кажется странным, что всюду плотное множество рациональных чисел не более богато элементами, чем множество натуральных чисел, элементы которого "рассеяны" редко и стоят на значительном расстоянии один от другого. Другими словами, совокупность всех действительных чисел - совершенно иного так сказать, более высокого "типа бесконечности", чем совокупность одних только целых или одних только рациональных чисел.

Допустим, что все действительные числа, представленные в виде бесконечных десятичных дробей, расположены в виде последовательности, или списка:. Таким образом обнаруживается несостоятельность утверждения, что все действительные числа поддаются пересчету, и ничего другого не остается, как только признать вместе с Кантором, что множество действительных чисел несчетно.

Пересчет рациональных чисел Каждое рациональное число записывается в виде где а и b - целые числа; все эти числа могут быть расположены в виде такой таблицы, чтобы число стояло в а-й строчке и в b-м столбце.

Таким образом обнаруживается несостоятельность утверждения, что все действительные числа поддаются пересчету, и ничего другого не остается, как только признать вместе с Кантором, что множество действительных чисел несчетно.

Мы опишем сейчас один из возможных способов пересчета множества рациональных чисел. Читателю может прийти в голову мысль, что несчетность континуума обусловливается неограниченной протяженностью прямой линии и что конечный отрезок прямой будет содержать лишь счетное множество точек.

Однако проведем это рассуждение фактически. Другими словами, совокупность всех действительных чисел - совершенно иного так сказать, более высокого "типа бесконечности", чем совокупность одних только целых или одних только рациональных чисел.

Достаточно принимая во внимание последнее доказанное предложение сосредоточить внимание на точках единичного отрезка от 0 до 1. Взаимно однозначное соответствие между точками согнутого интервала и точками прямой линии.

Если бы все точки единичного отрезка входили в последовательность 1 , то весь единичный отрезок оказался бы покрытым бесконечным множеством таких интервалов может быть, частью перекрывающихся , длины которых суть Беды нет, если некоторые из наложенных отрезков выйдут за пределы основного единичного отрезка.

Отсюда видно, что даже конечный интервал и, конечно, отрезок содержит несчетное множество точек. Тому же Кантору принадлежит открытие исключительной важности: Взаимно однозначное соответствие между точками согнутого интервала и точками прямой линии Это новое число z наверняка не входит в наш список; действительно, оно не равно первому числу, стоящему в списке, так как от него отличается первой цифрой после запятой, оно не равно второму числу, так как от него отличается второй цифрой после запятой, и вообще отлично от n-го числа по списку, так как отличается от него n-й цифрой после запятой.

Это рассуждение мы позволим себе рассматривать как доказательство, хотя строго логически тут был бы нужен более глубокий анализ. Тому же Кантору принадлежит открытие исключительной важности:

И в самом деле, с сохранением порядка возрастания нельзя расположить положительные рациональные числа так, как это можно сделать с натуральными: Предположим, что множество всех точек названного отрезка может быть расположено в виде последовательности. Отсюда видно, что даже конечный интервал и, конечно, отрезок содержит несчетное множество точек.

В результате движение по ломаной линии приводит к последовательности рациональных чисел. Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков? В результате движение по ломаной линии приводит к последовательности рациональных чисел Если мы выбросим теперь все дроби, у которых числитель и знаменатель имеют отличные от 1 общие делители, то останется последовательность, в которой каждое рациональное число встретится в точности один раз: Мы исходим из допущения, что все действительные числа удалось перенумеровать, располагая их в виде последовательности, и после этого демонстрируем число, которое никак не может быть числом этой последовательности.

Взаимно однозначное соответствие между точками согнутого интервала и точками прямой линии Это новое число z наверняка не входит в наш список; действительно, оно не равно первому числу, стоящему в списке, так как от него отличается первой цифрой после запятой, оно не равно второму числу, так как от него отличается второй цифрой после запятой, и вообще отлично от n-го числа по списку, так как отличается от него n-й цифрой после запятой.

То же покажите для суммы трех, четырех и, вообще, n множеств; покажите, наконец, что множество, составленное посредством сложения счетного множества счетных множеств, также счетно. Пользуясь фразеологией "теории меры", мы скажем, что счетное множество точек имеет меру нуль. Раз оказалось, что множество рациональных чисел - счетное, то могло бы возникнуть подозрение, что и всякое бесконечное множество также счетно и на этом, естественно, закончился бы весь анализ бесконечного.

Пересчет рациональных чисел Каждое рациональное число записывается в виде где а и b - целые числа; все эти числа могут быть расположены в виде такой таблицы, чтобы число стояло в а-й строчке и в b-м столбце. Итак, допущение, что последовательность 1 содержит всё действительные точки единичного отрезка, приводит к заключению, что весь этот отрезок, длина которого равна 1, можно покрыть множеством отрезков с общей длиной ; с интуитивной точки зрения это - нелепость.

В результате движение по ломаной линии приводит к последовательности рациональных чисел. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума Одно из первых открытий Кантора в области анализа бесконечного заключалось в том, что множество рациональных чисел содержащее в качестве правильного подмножества бесконечное множество натуральных чисел и потому само бесконечное эквивалентно множеству натуральных чисел.

Получить необходимое для этой цели взаимно однозначное соответствие можно, например, сгибая интервал в точках и и затем проектируя так, как показано на рис.



Секс в гта 5 мод
Сисястые негритоски видео
Пышная секси брюнетка в очках
Порно бесплатно с алиной кабаевой
Голубоглазые брюнетки минет
Читать далее...